Уравнение Шредингера


Во всех пособиях общей квантовой теории утверждается, что уравнение Шредингера в задаче гелия аналитических решений не имеет.




В нерелятивисткой квантовой механике состояние атомной оболочки описывает уравнение Шредингера. Оно представляет из себя дифференциальное уравнение второго порядка для многоэлектронной волновой функции и имеет следующий вид
1
В раскрытом виде это уравнение на узкой странице выглядит невзрачно, поэтому все величины  рассмотрим на отдельных строчках.
Для атома гелия двухэлектронная волновая зависит от шести переменных.
2
В сферической системе координат этими переменными являются сферические координаты электронов.
Первые два слагаемые в скобке уравнения 1 являются операторами кинетической энергии электронов. С точностью коэффициента оно совпадают с оператором Лапласа.
3
Третьяя и четвертая слагаемые представляют потенциальную энергию взаимодействия электронов с ядром. Перечисленные четыре операторы обладают очень удобным свойством. Каждый из них зависит от координат только одного электрона.  Этот факт содействует разделению уравнения 1  на два уравнения с меньшим числом переменных.
Наибольшие трудности  при решении уравнения Шредингера вызывает последнее слагаемое скобки. 



Хотя оно содержит только элементарные функции, все же теоретическая физика предпочитает проводить численный анализ.
Обратите внимание на то, что волновая функция не разложена по частицам. Она не будет разложена вплоть до конца этой статьи.
Ниже будет показано как классическими методами математики можно упростить это выражение и разделить уравнение Шредингера на четыре такие части, каждая из которых описывает некоторое простое одномерное движение.